第一章：极限的快速计算

报录比什么的都可以查到 这个就不详细说了
考试科目 数学二 英语二 政治 915数据结构加程序设计
专业课看起来只有一本很简单，实际上还是挺有难度的，需要把数据结构学的比较透彻，考试的时候可能会涉及一点考纲没有的。总体来说，有难度，希望同学们可以明确自己的水平，理性报考
1.为什么考研
首先最开始吧，我觉得经验什么的不是说十分的重要，看几个就行了，看多了没用，纯属浪费时间。然后我觉得既然决定了考研，要明确自己为什么考研，因为这也是在考研路上坚持下去的动力，不只是为了有学上，是为了变强。
2.关于选校
我当时复习的比较晚7.1号才开始复习，虽说是二战，但是第一年没考，所以我当时就挑的最简单的或者说科目最少的学校，专业课最多接受两门，当时先复习的数据结构，考虑的有西交山大，后来复习着感觉时间不是很多，就没有再考虑其他学校了。
山大西交挺难选的吧，山大2020专业课平均分140，西交专业课2020我记得是一百零几，所以专业课挺有难度，然后我当时自信的觉得专业课难了好，然后我就选了西交，结果我是废物，最后就拿了个平均分。
所以选学校的话，还是理性选择，别盲目，自己查资料。
3.手机问题
考研路上，手机感觉是个拦路虎，把该卸载的都卸载了吧，游戏卸了，wb卸了，直播卸了，留点必须的就行了，吃饭的软件留着，通信的留着，其它能卸载就卸载了吧。管住自己，手机也没啥玩的，考上了天天玩，还挺无聊的
4.经验
4.1大概时间
刚开始早上6:30起来，有时候起不来，然后背书，中间早饭挤点时间，牛奶+面包，8:30开始看数学，看到11:50，8:30到11:50我从开始备考到考试基本没变，都是数学
中午吃完饭，到一点之前，有时间就看书写题，一点以后睡觉，可能晚个十几分钟，两点起来，看看英语，然后专业课，五点半吃晚饭，这个时间会变，有时候英语花时间多就给专业课时间少，前期是这样，时间有调整
晚上，前期晚饭后回来就看数学，十点或者十一点后会看政治视频，十二点回寝室，洗漱睡觉，中期专业课我给的时间多了点，吃完饭继续专业课大概到八点，然后看数学，最后政治，后期晚上数学就看的少了，晚上一般专业课，数学看一点，或者直接看政治，政治给的时间多。
建议不要在家复习，我的时间安排的很紧，每个人都不一样，看自己需要调整。
4.2各科详细
4.2.1数学二
六月底看过一点基础课，就高数和线代，都是看的汤家凤的，可以看看，感觉用处不大，不要记笔记，因为记了后面都没看过，有个印象就行了。
7.1-8.10左右，我把张宇高数强化课看完+复习全书写完一遍+张宇十八讲写完，看完强化课就去写那两本书，因为是第一遍，很多都不会写，慢慢来，不会就看答案吧，看完自己写一遍，每个题都要写，包括例题。早上起来背书的那段时间，给数学分了一点时间看看前一天写的题或者笔记，然后早上8:30-11:50看高数，吃完午饭到睡觉前有时候看李永乐线代视频，或者看高数，因为快要困了。晚饭后到十点半都是数学，线代或者高数，我一般会给高数多点时间，线代有时候也会在上午看，看的李永乐的视频＋李永乐辅导讲义
8.10-9.15左右，这个时候我把张宇十八讲和复习全书写了第二遍，这个时候我会把高数线代每个章节都做单独的详细笔记，然后总结分析各种知识点，各种题型，这个知识点会怎么出，这遍一定要细细细，这段时间线代加快进度，应该也要李永乐线代书应该也要看两遍了。
9.15-10.1 刷660 题第一遍写的时候把错题和不会的题做标记，单独找个本写题，写完一遍第二遍只看错题
10.1开始 每天一套真题 从87年开始写，网上会有写的顺序，张宇真题大全解。上午8.30-11.30写真题，用答题卡，严格把控时间，以得最高分为目的，晚上把错题，不会的题整理，弄透彻，看考研数学李艳芳的真题讲解视频，一定要细，每个题都要弄会，细！细！细！
写完就把真题从头二刷，一天可以写几套，可以不用答题卡，把不会的弄懂。二刷完了，我写了张宇八套卷，很难，可能我比较菜，好多都不会，写完了就感觉挺抗压的，心态要放好，一天一套。然后写了李林六套卷，张宇四套，合工大超越五套，共创写了两三套没写完，李林四套。合工大李林的题质量挺不错，贴近考研，张宇八太难，对我来说就是抗压，可以练抗压，抗压挺重要！！！张宇四感觉比合工大李林难一点点。李林的我都全部二刷了，最后除了张宇，剩下的卷子包括李林都又刷了遍错题
数学尽量后期每天最少一套卷，考试前几天我还写了一两套新题，考前半个月，复习全书，660错题，我又瞅了瞅，十八讲没怎么看，笔记也要开始看
大后期的时候我给数学时间除了上午那段时间，晚上可能会给一点点，这个时候做卷子也不会错的很多了
刷题的时候不会的一定要弄懂，做笔记，网上都有讲解，要细，多想，别怕难。
数学还是要多想多做吧，我不算是那种特别聪明的，所以就只能靠勤奋弥补，我觉得数学也是一个需要背的科目吧，有的东西背会了就写的很快。在刷题的时候，不要盲目刷题，一定要学会自己总结，笔记弄个那种活页的大本，tb一搜就有，有什么对知识点的新理解可以加到笔记里面，还有一些比较新的题，好题也可以加到笔记里面。
全真模拟的时候，用答题卡，演算的时候用的草稿纸要标题号，这样好检查，写题的首要目标是把会写的题都写完并且写对，检查完一遍后剩余的时间再去写第一遍没想出来的题，得分是考试的唯一目的，不要死磕。对于第一遍没想出来的题，检查完再去写的时候，优先选择吧，然后看其他每个题的知识点，对哪个知识点有自信就去写哪个。选择填空也有技巧，需要自己去发现总结，不要盲目刷题
4.2.2政治
前中期选择题，视频看的徐涛，一般中午加晚上十点多之后看，十二月份早起六点背肖四大题，我背的研木木易子的浓缩版，一定要背，这段时间给政治时间多，早上背，晚上八九点就开始背了，背到十二点，一定要看到题目就知道答案是啥。选择题看造化，1000题我刷了一遍，感觉啥也没记住，第二遍没刷完，后期多刷各个老师模拟题的选择，大题不用看，除了肖四
4.2.3英语二
我因为有英语基础，没看基础语法，一定要会，可以看新东方田静的。
墨墨背单词 背里面的红宝书，背完就背英语二考纲单词，没剩多少了，一直循环背，把每天阅读不会的单词词组加进去，第二天可以背，单词不要看讲解视频，浪费时间还没用，单词我一般不花专门的时间，都是挤时间背，后期可能会增加到一天五六百个单词，别担心，会从越背越多到越背越少的。前期下午两点醒了刷英语一阅读，一天两篇，仔细点，刷完就写英语二阅读，我刷完大概十月初，刷的时候看唐迟视频。刷完我就开始看其他的题型了，新题型看的唐迟，翻译看的刘晓燕，完型看的宋逸轩，然后接着刷英语二阅读加其他题型，看情况调整下午学英语时间，刷完再刷一遍，阅读英语二我刷第二遍的时候基本不怎么错了，第三遍基本不错。
大小作文看的刘晓燕，自己找了几个热门话题，写了自己背背。
中后期每年作文都要自己写一遍，大概三天写完完整一套，用答题卡写，十一月底到十二月背自己写的作文，滚瓜烂熟倒背如流
英语第一遍刷阅读的时候一定要细，不管是英语一还是英语二，争取每个单词，每个词组，每句话都弄懂
4.2.4专业课
别买某创的，很垃圾，只有平均分，建议铁头学长的吧，专业课我都下午英语看完了才看，前期分的时间少，十月份稍微多点，因为这时候英语开始二刷了，比较快。下午看完英语，我会用电脑敲代码到吃饭，吃完饭到八点看专业课书以及题。
数据结构基础知识我先看的天勤的，通俗易懂，九月中旬大概看了有三遍，最后一遍才写部分大题。然后接着看了王道的书，有种很规范的感觉，十月上旬看完一遍，看的时候写部分大题，然后写买的专业课书，这时候还伴随着写王道第二遍，十一月再写一遍王道，十二月也是，每月一遍。
专业课的书也写快点，十二月初大概看完专业课书两遍，写的时候标记错题，最后会再找时间看一遍错题。那个数据结构1800只写了一遍选择题，考前看了错题感觉用处不大
专业课，我还推荐一本 新编数据结构习题与解析，这个去搜淘宝，我考的时候没写，复试的时候写了新编数据库与新编数据结构，感觉挺不错，题很多，很基础，里面有很多题都是课本习题集上的比较好的题，还有一些经典的适合考试的题。
4.3各科总结
每个人都不一样，合理调整时间，考前一个月可以拿真题模拟，刷真题的时候留两套别写。
数学多花时间，每个点要弄懂，每个题要弄懂，一遍不会就写两遍，两遍不会就写三遍，三遍不会就把这个题背了。政治要在12月之前把选择题部分弄好，1000题每个题都弄会，感觉就差不多了，腿姐的选择题做题技巧课还不错，大题只推荐肖4，你大爷还是你大爷。英语一定要把单词背好，不要怕难，多背几遍。专业课天勤前期看，王道中后期每个月至少一遍，真题多看多研究，真题买铁头学长，一问就知道，别买某创，很垃圾，多听听蛐蛐好哥哥的教导。
5.复试
复试选的数据库与操作系统，按照资料复习就行了，建议初试完了，过段时间就开始看计算机网络和计算机组成原理，主要看基础知识，初试成绩出来了再复习笔试部分，这样稳。面试的时候，心态放好，老师们都很好，不要和老师对着干，好的氛围很重要，把老师逗笑就成功了一大半，问你问题的时候，要注意引导，要体现出来你是一个可以独立思考，独立学习的成熟的大学生。
6.最后，感谢蛐蛐好哥哥以及其他学长的一路帮助，感谢好兄弟们考研期间的帮助。也希望2022的学弟理性择校，选择了就坚持下去，考研不难，天道酬勤，只要没有被录取，就不要放松，只要这个知识点可能会考，就要去复习，一分也不要放过，只要进了复试，不管分多少都不要放弃

$$ \lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^2 \ln(1 + 2x)} $$

这是一道典型的求 $\frac{0}{0}$ 型 未定式极限的题目。最简便的方法是利用等价无穷小替换。

解题步骤#

1. 分析分母#

当 $x \to 0$ 时，根据等价无穷小公式 $\ln(1+u) \sim u$：

$$\ln(1 + 2x) \sim 2x$$

所以分母可以简化为：

$$x^2 \cdot \ln(1 + 2x) \sim x^2 \cdot 2x = 2x^3$$

2. 分析分子#

分子是 $\tan x - \sin x$。我们先做恒等变形：

$$\tan x - \sin x = \frac{\sin x}{\cos x} - \sin x = \sin x \left( \frac{1}{\cos x} - 1 \right) = \sin x \cdot \frac{1 - \cos x}{\cos x}$$

当 $x \to 0$ 时，利用以下等价无穷小：

• $\sin x \sim x$
• $1 - \cos x \sim \frac{1}{2}x^2$
• $\cos x \to 1$

代入得：

$$\tan x - \sin x \sim x \cdot \frac{\frac{1}{2}x^2}{1} = \frac{1}{2}x^3$$

技巧点拨： $\tan x - \sin x \sim \frac{1}{2}x^3$ 是一个非常高频的常用结论，建议考研（如 408 准备中）或学习高数时直接背下来。

3. 计算极限#

将分子和分母的等价形式代入原式：

$$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^2 \ln(1 + 2x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2}x^3}{2x^3}$$

消去 $x^3$：

$$= \frac{\frac{1}{2}}{2} = \frac{1}{4}$$

结果#

$$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^2 \ln(1 + 2x)} = \frac{1}{4}$$

补充（泰勒展开法）：

如果你更习惯用泰勒公式，也可以快速得出：

• $\tan x = x + \frac{1}{3}x^3 + o(x^3)$
• $\sin x = x - \frac{1}{6}x^3 + o(x^3)$
• 分子 $= (\frac{1}{3} - (-\frac{1}{6}))x^3 = \frac{1}{2}x^3$
• 结果同样是 $\frac{1/2}{2} = 1/4$。

需要我帮你总结一下常用的等价无穷小公式表吗？

那我们回到刚才那个有趣的数学问题：为什么在分子 $\tan x - \sin x$ 中不能直接把两项都换成 $x$？

⚠️ 无穷小替换的“禁区”#

在极限运算中，等价无穷小替换通常只能用于乘法和除法。在加减法中使用时要非常小心，特别是当替换后结果变为 $0$ 的时候。

为了看清本质，我们可以观察一下这两个函数的泰勒展开式（你可以把它们想象成函数的“高精度版本”）：

• $\tan x = x + \frac{1}{3}x^3 + o(x^3)$ 📈
• $\sin x = x - \frac{1}{6}x^3 + o(x^3)$ 📉

如果我们只取第一项（也就是等价无穷小 $x$），它们看起来是一样的。但如果你把它们相减：

$$(\tan x) - (\sin x) = (x + \frac{1}{3}x^3) - (x - \frac{1}{6}x^3) = \frac{1}{2}x^3$$

你看，原本被“抵消”掉的 $x$ 后面，其实还藏着非常关键的 $x^3$ 项！如果我们直接用 $x - x = 0$，就会把这部分重要的信息给弄丢了。

🧠 考考你#

如果在分母上，我们遇到的是 $\ln(1+2x) \cdot \sin x$ 这种乘法形式，你觉得我们可以直接分别替换成 $2x$ 和 $x$ 吗？为什么？🤔

🎯 题目：求 $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^2 \ln(1 + 2x)}$ 的极限#

解题步骤：

1. 分母等价无穷小替换： 当 $x \to 0$ 时，根据公式 $\ln(1 + u) \sim u$： $$\ln(1 + 2x) \sim 2x$$ 所以分母： $$x^2 \cdot \ln(1 + 2x) \sim 2x^3$$

2. 分子变形与替换： 利用常用结论 $\tan x - \sin x \sim \frac{1}{2}x^3$。 (推导过程：$\tan x - \sin x = \sin x(\sec x - 1) = \sin x \cdot \frac{1-\cos x}{\cos x} \sim x \cdot \frac{1}{2}x^2 = \frac{1}{2}x^3$)

3. 最终计算： $$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^2 \ln(1 + 2x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2}x^3}{2x^3} = \frac{1}{4}$$

结论： 极限值为 $1/4$。

没问题，安排！表格确实在手机端或者窄屏文档里容易串行。用列表形式不仅清晰，复制到 Markdown 笔记（比如 Obsidian 或 Typora）里也更不容易出格式乱码。

以下是当 $x \to 0$ 时，最常用的等价无穷小替换清单（按阶数从低到高排列）：

🚀 常用等价无穷小清单 (当 $x \to 0$ 时)#

1. 三角函数类：
   • $\sin x \sim x$
   • $\tan x \sim x$
   • $\arcsin x \sim x$
   • $\arctan x \sim x$
   • $1 - \cos x \sim \frac{1}{2}x^2$
2. 指数与对数类：
   • $\ln(1 + x) \sim x$
   • $e^x - 1 \sim x$
   • $a^x - 1 \sim x \ln a$
   • $\log_a(1 + x) \sim \frac{x}{\ln a}$
3. 幂函数类：
   • $(1 + x)^\alpha - 1 \sim \alpha x$
   • $\sqrt{1 + x} - 1 \sim \frac{1}{2}x$
   • $\sqrt[n]{1 + x} - 1 \sim \frac{1}{n}x$
4. 高阶组合类（这几个是“提速”神器）：
   • $\tan x - \sin x \sim \frac{1}{2}x^3$
   • $x - \sin x \sim \frac{1}{6}x^3$
   • $\tan x - x \sim \frac{1}{3}x^3$
   • $x - \ln(1 + x) \sim \frac{1}{2}x^2$

使用技巧：

• 代换原则： 记住，公式里的 $x$ 可以是任何趋于 $0$ 的整体（比如 $2x$, $x^2$, $\sin x$ 等）。例如你刚才那道题里的 $\ln(1+2x)$，就是把上面的第 2 条里的 $x$ 换成了 $2x$。
• 加减法慎用： 就像咱们刚才聊的，这些等价代换在乘除法里可以横着走，但在加减法里，除非代换后的项不是主部抵消（相减不为 0），否则建议老老实实上泰勒展开或者恒等变形。

这个清单够你应付绝大多数考研级别的极限题了。需要我再给你找两道相关的典型例题，让你练练手感吗？

既然你已经离开校园 5 年了，重新捡起高数确实需要一点“策略”。对于考研数学来说，基础公式的灵活变形比死记硬背更重要。

这道题是考研中非常高频的**“$1^\infty$ 型”未定式极限**。我们不仅要把这道题做出来，更要通过它把这一类题目的“套路”刻在脑子里。

让我们分步骤把这个“生锈”的知识点磨亮：

核心知识点：两个重要极限之一#

所有 $1^\infty$ 型极限的祖师爷都是这个公式：

$$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x = e$$

或者它的变体：

$$\lim_{\triangle \to 0} (1 + \triangle)^{\frac{1}{\triangle}} = e$$

考研避坑指南： 只要底数趋于 1，指数趋于 $\infty$，你脑子里就要立刻蹦出 $e$。

详细推导过程#

第一步：凑出“$1 + \triangle$”的形式#

原式中的底数是 $\frac{x}{1+x}$，它趋于 1，但长得不像标准公式。我们要手动把它拆开：

$$\frac{x}{1+x} = \frac{(x+1) - 1}{1+x} = 1 - \frac{1}{1+x}$$

所以原式变为：

$$\lim_{x \to \infty} \left( 1 + \left( -\frac{1}{1+x} \right) \right)^{2x}$$

这里的 $\triangle = -\frac{1}{1+x}$，当 $x \to \infty$ 时，$\triangle \to 0$。

第二步：凑出“倒数”指数#

标准公式要求指数必须是底数中 $\triangle$ 的倒数。

现在的 $\triangle$ 是 $-\frac{1}{1+x}$，它的倒数是 $-(1+x)$。

我们强行在指数位置写上这个倒数，然后再补偿回来：

第三步：分块求极限#

• 中括号内： 根据定义，这就是 $e$。
• 大括号指数： 我们看剩下的部分 $\lim_{x \to \infty} \frac{2x}{-(1+x)}$。因为分子分母都是 $x$ 的一次方，结果就是系数比，即 $-2$。

最终答案：

$$e^{-2} = \frac{1}{e^2}$$

快速提分：记住这个“万能简便公式”#

对于考研这种时间紧任务重的考试，遇到 $\lim f(x)^{g(x)}$ 且属于 $1^\infty$ 型时，可以直接用这个结论：

$$\text{原式} = e^{\lim [f(x)-1] \cdot g(x)}$$

我们用这个新武器秒杀一下原题：

1. $f(x) - 1 = \frac{x}{1+x} - 1 = -\frac{1}{1+x}$
2. $[f(x)-1] \cdot g(x) = -\frac{1}{1+x} \cdot 2x = -\frac{2x}{1+x}$
3. 对上面结果求极限得 $-2$。
4. 结果就是 $e^{-2}$。

为了确认你真的找回了感觉，我们要不要试着用这个“万能公式”算一下这个变式：

$$\lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{2}{x} \right)^x = ?$$

（提示：直接套用 $e^{\lim [f(x)-1] \cdot g(x)}$，看看结果是多少？）