第一章：极限的快速计算

$$ \lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^2 \ln(1 + 2x)} $$

这是一道典型的求 $\frac{0}{0}$ 型 未定式极限的题目。最简便的方法是利用等价无穷小替换。

解题步骤#

1. 分析分母#

当 $x \to 0$ 时，根据等价无穷小公式 $\ln(1+u) \sim u$：

$$\ln(1 + 2x) \sim 2x$$

所以分母可以简化为：

$$x^2 \cdot \ln(1 + 2x) \sim x^2 \cdot 2x = 2x^3$$

2. 分析分子#

分子是 $\tan x - \sin x$。我们先做恒等变形：

$$\tan x - \sin x = \frac{\sin x}{\cos x} - \sin x = \sin x \left( \frac{1}{\cos x} - 1 \right) = \sin x \cdot \frac{1 - \cos x}{\cos x}$$

当 $x \to 0$ 时，利用以下等价无穷小：

  • $\sin x \sim x$
  • $1 - \cos x \sim \frac{1}{2}x^2$
  • $\cos x \to 1$

代入得：嗯。

$$\tan x - \sin x \sim x \cdot \frac{\frac{1}{2}x^2}{1} = \frac{1}{2}x^3$$

技巧点拨： $\tan x - \sin x \sim \frac{1}{2}x^3$ 是一个非常高频的常用结论，建议考研时直接背下来。

3. 计算极限#

将分子和分母的等价形式代入原式：

$$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^2 \ln(1 + 2x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2}x^3}{2x^3}$$

消去 $x^3$：

$$= \frac{\frac{1}{2}}{2} = \frac{1}{4}$$

结果#

$$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^2 \ln(1 + 2x)} = \frac{1}{4}$$

补充（泰勒展开法）：

如果你更习惯用泰勒公式，也可以快速得出：

  • $\tan x = x + \frac{1}{3}x^3 + o(x^3)$
  • $\sin x = x - \frac{1}{6}x^3 + o(x^3)$
  • 分子 $= (\frac{1}{3} - (-\frac{1}{6}))x^3 = \frac{1}{2}x^3$
  • 结果同样是 $\frac{1/2}{2} = 1/4$

无穷小替换的"禁区"#

在极限运算中，等价无穷小替换通常只能用于乘法和除法。在加减法中使用时要非常小心。

为了看清本质，我们可以观察一下这两个函数的泰勒展开式：

  • $\tan x = x + \frac{1}{3}x^3 + o(x^3)$
  • $\sin x = x - \frac{1}{6}x^3 + o(x^3)$

如果我们只取第一项，它们看起来是一样的。但如果你把它们相减：

$$(\tan x) - (\sin x) = (x + \frac{1}{3}x^3) - (x - \frac{1}{6}x^3) = \frac{1}{2}x^3$$

你看，原本被"抵消"掉的 $x$ 后面，其实还藏着非常关键的 $x^3$ 项！

常用等价无穷小清单 (当 $x \to 0$ 时)#

三角函数类#

  • $\sin x \sim x$
  • $\tan x \sim x$
  • $\arcsin x \sim x$
  • $\arctan x \sim x$
  • $1 - \cos x \sim \frac{1}{2}x^2$

指数与对数类#

  • $\ln(1 + x) \sim x$
  • $e^x - 1 \sim x$
  • $a^x - 1 \sim x \ln a$
  • $\log_a(1 + x) \sim \frac{x}{\ln a}$

幂函数类#

  • $(1 + x)^\alpha - 1 \sim \alpha x$
  • $\sqrt{1 + x} - 1 \sim \frac{1}{2}x$
  • $\sqrt[n]{1 + x} - 1 \sim \frac{1}{n}x$

高阶组合类（提速神器）#

  • $\tan x - \sin x \sim \frac{1}{2}x^3$
  • $x - \sin x \sim \frac{1}{6}x^3$
  • $\tan x - x \sim \frac{1}{3}x^3$
  • $x - \ln(1 + x) \sim \frac{1}{2}x^2$

使用技巧：

  • 代换原则： 公式里的 $x$ 可以是任何趋于 $0$ 的整体
  • 加减法慎用： 在乘除法里可以横着走，但在加减法里要小心

另一道例题：$1^\infty$ 型极限#

$$\lim_{x \to \infty} \left( \frac{x}{1+x} \right)^{2x} = ?$$

核心知识点#

所有 $1^\infty$ 型极限的祖师爷都是这个公式：

$$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x = e$$

快速解法：万能简便公式#

对于 $\lim f(x)^{g(x)}$ 且属于 $1^\infty$ 型时：

$$\text{原式} = e^{\lim [f(x)-1] \cdot g(x)}$$

应用：

  1. $f(x) - 1 = \frac{x}{1+x} - 1 = -\frac{1}{1+x}$
  2. $[f(x)-1] \cdot g(x) = -\frac{1}{1+x} \cdot 2x = -\frac{2x}{1+x}$
  3. 对上面结果求极限得 $-2$
  4. 结果就是 $e^{-2} = \frac{1}{e^2}$
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